Exemple 11 – calc. rang d’una matriu amb Python
- El conj. de vectors {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} té rang 3, atès que els tres vectors són linealment independents
- El conj. de vectors {(1,2,3), (0,2,2),(1,4,5)} té rang 2, ja que només hi ha dos vectors linealment independents (el tercer vector és la suma dels dos primers).
- El conj. de vectors {(1,0,2), (2,0,4),(3,0,6)} té rang 1, ja que només hi ha un vector linealment independent (els vectors segon i tercer són múltiples del primer)
Explicació pas a pas
Per trobar el rang d’un conjunt de vectors, hem de determinar quants vectors són linealment independents. Una manera sistemàtica de fer-ho és mitjançant una matriu que té aquests vectors com a files o columnes i després trobar el seu rang mitjançant reducció de Gauss. Anem pas a pas en cada cas.
Cas 1: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
Formem la matriu amb els vectors com a files:
Aquesta matriu és la matriu identitat i ja està en forma esglaonada reduïda, on cada fila té un 1 en una columna diferent i la resta són zeros.Com que hi ha tres files no nul·les, el rang és 3.
Cas2: {(1,2,3),(0,2,2),(1,4,5)}
Formem la matriu:
Restem la primera fila de la tercera fila per eliminar el primer element:
Fem F3→F3−F1 : (1,4,5)−(1,2,3)=(0,2,2)
Observem que la segona i la tercera fila són iguals, la qual cosa significa que una d’elles és redundant i podem eliminar-la.
Queden només dues files no nul·les, per tant, el rang és 2.
Cas 3: {(1,0,2),(2,0,4),(3,0,6)}
Formem la matriu:
Observem que la segona fila és simplement el doble de la primera i la tercera fila és el triple de la primera. Això vol dir que totes les files són combinacions lineals de la primera.
Eliminant les files redundants, queda només una fila no nul·la, així que el rang és 1.
- La segona fila és el doble de la primera – F2←F2−2F1:
(2,0,4) =2⋅(1,0,2) - La tercera fila és el triple de la primera – F3←F3−3F1:
(3,0,6)=3⋅(1,0,2)
