àlg.
Un vector director és un vector que indica la direcció d’una recta o d’un pla en un espai determinat. No fixa un punt específic en l’espai, sinó que només descriu la direcció en què es mou una línia o un pla.
1. Vector director d’una recta
En geometria analítica, una recta en l’espai [latex] R^2[/latex] o [latex]{R}^3[/latex] es pot expressar mitjançant una equació paramètrica de la forma:
[latex] r(t)=r_0+tv [/latex]
on:
- r(t) és la posició d’un punt qualsevol de la recta.
- [latex] r_0 [/latex] és un punt fix de la recta (punt per on passa).
- t és un paràmetre real.
- v és el vector director, que determina la direcció de la recta.
Per exemple, si tenim la recta:
r(t) = (1,2,3) + t(2,−1,4)
el vector director és:
v=(2,−1,4)
Això vol dir que qualsevol punt de la recta es pot obtenir sumant al punt inicial (1,2,3) un múltiple del vector (2,−1,4) que marca la direcció.
2. Vector director d’un pla
En el cas d’un pla, en lloc d’un únic vector director, necessitem dos vectors directors [latex]{v_1} i {v_2}[/latex] a que un pla té dues direccions independents. Això vol dir que el pla es pot expressar com:
[latex] r_(s,t)= r_0+sv_1+tv_2 [/latex]
on s i t són paràmetres reals.
3. Propietats dels vectors directors
- No són únics: qualsevol múltiple escalar d’un vector director també és un vector director de la mateixa recta.
- Serveixen per determinar equacions de rectes i plans.
- En geometria euclidiana, poden ajudar a trobar angles entre rectes i a verificar si dues rectes són paral·leles o coincidents.
