📐 Vector director
Un vector director és un vector que indica la direcció d’una recta o d’un pla en un espai determinat.
No fixa un punt específic en l’espai, sinó que només descriu la direcció en què es mou una línia o un pla.
1. Vector director d’una recta
En geometria analítica, una recta en l’espai R^2 o R^3 es pot expressar mitjançant una
equació paramètrica de la forma:
r(t) = r_0 + t v
on:
- r(t) és la posició d’un punt qualsevol de la recta.
- r_0 és un punt fix de la recta (punt per on passa).
- t és un paràmetre real.
- v és el vector director, que determina la direcció de la recta.
Exemple: si tenim la recta:
r(t) = (1,2,3) + t(2, -1, 4)
el vector director és:
v = (2, -1, 4)
Això vol dir que qualsevol punt de la recta es pot obtenir sumant al punt inicial (1,2,3) un múltiple del vector
(2, -1, 4), que marca la direcció.
2. Vector director d’un pla
En el cas d’un pla, en lloc d’un únic vector director, necessitem dos vectors directors v_1 i
v_2, ja que un pla té dues direccions independents. Això vol dir que el pla es pot expressar com:
r(s,t) = r_0 + s v_1 + t v_2
on s i t són paràmetres reals.
3. Propietats dels vectors directors
- No són únics: qualsevol múltiple escalar d’un vector director també és un vector director de la mateixa recta.
- Equacions: serveixen per determinar equacions de rectes i plans.
- Angles i paral·lelisme: en geometria euclidiana, poden ajudar a trobar angles entre rectes i a verificar si dues rectes són paral·leles o coincidents.
