Espais Vectorials

El concepte de vector apareix sovint en diversos contextos matemàtics, físics, de l’economia o de l’enginyeria.

---

Vectors Iguals

Considerem que dos vectors són iguals si tenen la mateixa longitud, la mateixa direcció i el mateix sentit, és a dir, les mateixes coordenades. En aquest cas, parlem de vectors lliures. Un vector lliure és determinat únicament per les coordenades, i per a representar en el pla, n’hi haurà prou de triar el punt origen o el punt final.

---

Vectors a l’espai

Donat us sistema de coordenades rectangulars en el pla sabem que un punt P està determinat per un parell ordenat . Per tant podem considerar  com el conjunt del pla.

Donats dos punt P:  i Q: a , es defineix el vector v =  com el segment orientat que té origen a P i final a Q. El vector v =  té com a components o coordenades v =  v =. 

Vectors de

Considerem aquest com tots els punts de l’espai representats en un sistema de coordenades rectangular de l’espai. Veure figura 2. Els vectors a són triples v = , on un vector és donat per les seves 3 coordenades i es representa com un segment orientat amb origen en un punt P: de i extrem en un altre punt Q:, de manera que , Exemple 2 Generalitzant les descripcions geomètriques dels vectors de [latex] R^2 i R^3 [/latex] definim els vectors de [latex] R^n [/latex]

Donats dos punts a [latex] R^n [/latex], P: i Q: , es defineix el vector v=PQ com el segment orientat que té origen a P i final a Q. El vector PQ té com a compnents o coordenades: v = PQ = Q – P =  

Donats dos vectors a , u = i v = i un nombre k ∈  R, es defineixen les operacions següents:  Suma de vectors: u + v =

Observar que (u + v) ∈

Producte d’un vector per un escalar: k · u = 

Observar que (k · u) ∈

Exemple 3 Exemple 4

Definició d’espai vectorial real

A l’apartat anterior hem considerat el conjunt de vectors de [latex] R^n [/latex] (n≥1) i s’han definit sobre aquest dues operacions: la suma de vectors (+9 i el producte d’un vector per un escalar (·). Aquestes operacions compleixen determinades propietat (associativa, commutativitat, existència d’element neutre, etc.) i doten el conjunts [latex] R^n [/latex] d’una estructur especial que s’anomena espai vectorial.

---

Notació matemàtica

• u ∈ V es llegeix “u pertany al conjunt V”.
• ∀ u, v, w ∈ V significa “per a tot u, v, w que pertanyen a V”.
• ∀ k, h, w ∈ R significa “per a tot k, h, w que pertanyen a R”.
• ∃0 ∈ V es llegeix “existeix 0 que pertany a V”.

---

Donat un conjunt V i dues operacions definides en aquest, la suma d’element de V (+) i el producte d’un element de V per un nombre real (·), la combinació (V, +, ·) s’anomena espai vectorial real si es verifiquen les propietats següents ∀u, v, w ∈ V i ∀k, h ∈ R: Suma

• Associativa: ( u + v) + w = u + (v + w)
• Commutativa: u + v = v + u
• Existència d’element neutre: ∃0 ∈ V tal que u + 0 = 0 + u = u
• Existència d’element oposat: ∀u ∈ V, ∀v ∈ V tal que u+v = v+u = 0

Producte

• Distributiva I: k·(u+v) = k·u + k·v
• Distributiva II: (k+h) · u = k·u + h·u
• Associativa: k·(h·u) = (k·h)·u
• Existència d’element neutre: 1·u = u

Exemple 5 – Espais Vectorials Reals

Combinació lineal

Sigui (V, +, ·) un espai vectorial real, es diu que el vector v ∈ V és una combinació lineal dels vectors ∈ V si existeixen nombres reals tals que:

 

Exemple 6

Dependència i independència lineal. Base i dimensió d’un espai vectorial

Donat un espai vectorial i un conjunt de vectors, es diu que aquests són linealment dependents si n’hi ha un d’ells que es pot expressar com a combinació lineal de la resta. En cas contrari, els vectors són linealment independents.

La dependència i independència lineal són conceptes fonamentals en àlgebra lineal que determinen si un conjunt de vectors en un espai vectorial poden expressar-se uns en funció dels altres.

Independència lineal

Un conjunt de vectors en un espai vectorial V es diu linealment independent si l’única combinació lineal que dóna el vector nul és la trivial:

només si tots els coeficients són zero:

Això vol dir que cap dels vectors pot expressar-se com una combinació lineal dels altres.

Dependència lineal

Si existeix una combinació no trivial dels vectors que dona el vector nul (és a dir, amb almenys un coeficient diferent de zero), llavors els vectors són linealment dependents. Això significa que almenys un dels vectors es pot escriure com a combinació lineal dels altres.

Exemple 10

---

• Es defineix

rang d’un conjunt de vectors

com el nombre màxim de vectors d’aquest conjunt que són linealment independents.

---

Exemple 11