Límits de Funcions

Apunts: Càlcul infinitesimal – Límits

1. Què és el límit d’una funció?

• El límit d’una funció descriu el valor al qual “s’acosta” la funció qual la variable independent (x) s’apropa a un punt determinat.
• No cal que la funció assumeixi aquest valor, només que s’apropi. El límit ens ajuda a entendre el comportament de la funció.
• Si el límit d’una funció 𝑓(𝑥) en un valor ‹‹a›› és igual a ‹‹b››, s’escriu:

Gràfica del comportament de la funció 𝑓(𝑥)=2𝑥+1, el límit quan 𝑥→3 és 7

Exemple: Si tenim la funció 𝑓(𝑥)=2𝑥+1 i volem saber què passa quan 𝑥 s’apropa a 3, podem calcular:

El límit existeix i és 7.

2. Intuïció bàsica

Si la funció és f(x)=2x+1 i es vol calcular , podem calcular uns quants punts que s’aproximin a 1 de la manera següent:

també s’acosta a 0″ class=”wp-image-6700″/>

3. Límits laterals

Exemple:

4. Límits infinits

• Algunes funcions no s’acosten a un número, sinó que creixen sense límit. Es nota amb ‹‹∞››/‹‹+∞›› o ‹‹−∞››

Exemple:

Gràfica d’exemple de límits tendint a infinit

5. Indeterminacions

Idea clau: El límit és mirar què passa molt a prop d’un punt, encara que en aquell punt la funció no tingui valor.

Esquemes visuals

Exemple bàsic: 𝑓(𝑥)=2𝑥+1, el límit quan 𝑥→3 és 7

Límits laterals: 𝑓(𝑥)=|𝑥|/𝑥, des de l’esquerra dona -1 i des de la dreta +1, així que el límit no existeix.

Límits infinits: 𝑓(𝑥)=1/𝑥, quan 𝑥 s’apropa a 0, la funció creix cap a +∞ o baixa cap a -∞.

Indeterminació resolta:  substituint surt 0/0, però el límit és 4.